재미있는 '수열' 이야기

등록 2004.05.20 06:38

수정 2004.05.20 11:13

수열이란 수를 가지고 열을 세운 것이다. 쉽게 말해서 수를 그냥 나열해 놓으면 그게 수열이다. 사실 아무렇게나 나열해 놓아도 수열이지만 수의 배열이 반듯하고 일정한 법칙이 있으면 더욱 좋다. 어떤 규칙이 있고 재미있는 수열의 예를 한번 들어보자.

121, 1331, 14641, 15101051, … 이라는 수열이 있다. 다음에는 어떤 수가 나올까?

답 : 1615201561.

아마 ‘파스칼의 삼각형’을 아는 사람이라면 이 문제가 쉽게 해결되었으리라.

파스칼의 삼각형이란 양끝에 1이라는 숫자를 넣고 위의 두 수를 아래로 더하는 형태의 수열이다.

이 수열은 ‘인간은 생각하는 갈대이다’라는 문구로 유명한 책 「팡세」를 지은 수학자 파스칼이 발견하였다. 모든 숫자를 앞에서 읽어도, 뒤에서 읽어도 같은 숫자가 되는 것이 특징인 이 수열은 수학에서 확률의 이항정리에 많이 응용된다.

다음 문제는 베르나르 베르베르의 유명한 소설 ‘개미’에 나오는 수열문제이다. 그림과 같이 계속되는 수열이 있다. 이 숫자들은 어떤 규칙을 가지고 순서대로 배열되어 있다. 다음에 나올 숫자는 무엇일까?

소설의 등장인물은 이 문제를 풀기 위해서는 수학적으로 생각하지 말고 ‘어린이처럼’ 생각해야 한다고 충고한다.

답 : 1123123111.

첫 번째 숫자를 보고 "1이 하나"하고 읽은 것이 2번째 줄의 숫자이다. 2번째 숫자를 "1이 둘"하고 읽은 것이 세 번째 줄의 숫자이다.

네 번째 줄은 세 번째 숫자를 보고 "1이 하나, 2가 하나"를 숫자로 적은 것이고 이런 식으로 마지막 줄의 숫자를 읽어보면 "1이 하나, 2가 셋, 1이 둘, 3이 하나, 1이 하나"이므로 1123123111이다.

다음은 알파벳으로 나열한 문자열, 아니 숫자와 관련이 있으므로 그냥 수열이라고 하자.

O, T, T, F, F, S, …

와 같이 배열되어 있는 수열에서 마지막 S 다음에 올 문자는 무엇일까?

답 : S

이 수열은 One, Two, Three, Four, Five, Six … 식으로 숫자를 읽고 영어 숫자들의 알파벳 첫 글자를 순서대로 늘어놓은 것이다. 따라서 7번째 Seven으로 S가 답이다.

이러한 문제는 재미는 있지만 일부 똑똑한 사람들은 의문을 제기하기도 하고 더욱 기발한 답을 만들어 내기도 한다. 이를 수학에선 용서할 수 없다. 그래서 수학에서는 여기에 여러 가지 약속을 정한다.

1, 3, 5, 7, 9, … 처럼 차가 일정한 수열을 등차수열이라 하고 1, 2, 4, 8, 16, …처럼 비율이 일정한 수열은 등비수열이라 한다. 이러한 수열에서 첫 번째 있는 숫자를 첫째항 또는 제1항이라 하고 두 번째 있는 항은 둘째항 또는 제2항이라 한다. 또 제 n번 째 있는 항은 제n항 또는 일반적이라 하여 일반항이라고 한다.

등차수열이나 등비수열처럼 일정한 형식의 수열은 일반항을 구하는 것이 별로 어렵지 않지만 모든 수열의 일반항을 구할 수 있는 것은 아니다.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …

위의 수열은 소수의 수열이다. 만약에 위의 수열의 일반항을 구한다면 수학사의 몇 천 년에 걸친 오랜 숙제를 해결함과 동시에 여러분의 이름은 수학사에 길이 빛나리라.

3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3, 2, 3, 8, 4, 6, …

이 수열은 원주율 π의 수열이다. π는 순환하지 않는 무한소수임이 밝혀져 있다. 뿐만 아니라 를 포함한 ‘모든 무리수는 분수로 쓸 수 없다’는 것은 밝혀져 있다. 뿐만 아니라 나열하는 수의 일정한 법칙은 아직 모른다. 이들 역시 여러분의 무한한 능력을 기다리고 있다.

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