티티우스수열

1766년 독일의 천문학자 티티우스(Titius)는 그 때까지 발견된 행성 수성, 금성, 지구, 화성, 목성, 토성과 태양 사이의 거리에 대한 일정한 규칙을 발견하였다.

▲ <그림 1>

그것은 이웃하는 두 행성들 간의 거리가 태양으로부터 안쪽으로 놓여진 이웃하는 두 행성들 간의 거리의 두 배의 관계에 있다는 것이다.

그의 법칙은 다음과 같다. 처음에는 0을, 그 다음에는 3을 적는다. 세 번째는 두 번째의 두 배인 6을 적는 식으로 앞의 숫자를 두 배하여 적어나간다. 그러면 다음과 같은 수열이 만들어진다.

0, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, …

이번에는 위에서 만들어진 각각의 숫자에 4를 더하면 다음과 같다.

4, 7, 10, 16, 28, 52, 100, 196, 388, 772, …

이것으로 행성과의 거리를 비교해 표를 만들어 보면 다음과 같다.

▲ <표 1>

위의 표에서 보듯이 이것은 지구와 태양과의 거리를 10으로 했을 때 당시까지 알려진 6개 행성(지구포함)의 거리와 수열은 너무나 비슷하다. 그리하여 이 수열을 '티티우스수열'이라 부른다.

우연의 일치로 여겨지던 이 수열에 힘을 확실히 싣게 된 것은 1781년에 새로운 행성이 하나 발견되고부터였다. 그 당시까지 알려지지 않았던 새로운 행성 천왕성이 영국의 천문학자 허셀에 의해 발견된 것이다.

얼마 후 천왕성까지의 거리가 측정되었는데 티티우스수열에서 토성 다음에 해당되는 숫자 196과 거의 일치한다는 것이 알려졌다.

▲ <표 2>

이때부터 많은 사람들은 티티우스수열에 지대한 관심을 갖게 되었고 특히 천문학자들은 예측대로라면 28의 위치에 있을 새로운 행성을 찾기 시작했다.

천왕성의 발견으로 태양계의 행성의 숫자는 7개가 되었다.

이에 대해 유명한 독일의 철학자 헤겔은 인간의 머리에 존재하는 구멍의 수가 7개뿐이기 때문에 행성의 숫자도 7개뿐이라는 주장을 했을 뿐만 아니라 약간 황당해 보이는 이런 생각을 바탕으로 화성과 목성 사이에 행성이 존재하지 않는다는 내용의 논문을 발표하기도 했다

28의 위치에 있는 행성은 1801년 1월 이탈리아 천문학자 피아치에 의해 우연히 발견되었다. 피아치는 새로운 혜성을 발견했다고 공표하였지만 다른 천문학자들은 드디어 화성과 목성 사이에 존재하는 미지의 행성이 모습을 드러냈다고 생각했던 것이다.

이를 확인하기 위해서는 이 별의 궤도를 계속 관측할 필요가 있었다. 하지만 피아치는 과로로 인하여 그 해 2월 11일까지 밖에 관측하지 못했다.

새 별의 발견소식을 접한 천문학자들은 이 별을 찾아보려고 했지만 이미 이 별은 없어져 버렸다. 피아치의 발견이 허사가 돼 버리는 순간이었다. 잃어버린 새 별을 찾기 위해서는 온 하늘을 뒤지거나 새 천체가 태양 둘레를 도는 궤도를 계산해 현재의 위치를 찾아야 했다.

온 하늘을 다시 뒤지는 작업은 불가능한 일이었고 피아치가 관측한 6주로서는 궤도를 계산해 내는 것은 턱없이 부족한 자료였다.

이때 23세의 젊은 나이의 천재 수학자 가우스가 나타났다. 그는 새 별의 실종에 대한 신문기사를 읽고 큰 흥미가 생겼다. 그는 피아치가 관측한 6주간의 자료만으로, 조그만 호에 대한 정보만으로 전체 타원궤도를 계산해 낼 수 있는 새로운 방법을 고안해냈다. 이것을 '가우스법'이라고 하는데 그는 11월에야 자신의 계산을 끝냈다.

▲ <그림 2>

그는 8차방정식을 적절히 응용하여 문제의 별이 6주 동안 처음 위치에서 3° 정도 이동했음을 구해냈다. 곧바로 독일의 천문학자 폰 자크에게 결과를 알려줬다.

결국 폰 자크는 12월 마지막 날 밤에 가우스가 정확히 예측했던 지점에서 문제의 천체를 다시 만날 수 있었다. 피아치가 처음 발견한 지 1년만이었다. 이때 새로운 행성의 이름은 피아치의 제안에 따라 세레스로 지어졌다. 세레스(Ceres)는 로마 농업의 여신이자 시칠리아 수호의 여신이었다.

1848년 독일의 요한 갈레가 거리가 301인 해왕성을 발견하자 티티우스 수열은 힘을 잃어갔다. 1930년에 미국의 클라이드 톰보가 거리가 395인 명왕성을 발견하자 그것은 티티우스 수열의 388과 비슷하다. 그리하여 또 다시 티티우스수열은 힘을 얻었다.